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センター数学IA '12年第3問

 センター数学IA '12年第3問 

ABCにおいて、であるとき
であり、△ABCの面積は,△ABCの内接円Iの半径はである。
また、円
Iの中心から点Bまでの距離はである。

(1) AB上の点Pと辺BC上の点Qを、かつとなるようにとる。このとき、△PBQの外接円Oの直径はであり、円Iと円O。ただし、には次のから当てはまるものを一つ選べ。
重なる(一致する)  内接する  外接する
異なる2点で交わる  共有点をもたない

(2) I上に点Eと点Fを、3CEFが一直線上にこの順に並び、かつ、となるようにとる。このとき
である。
さらに、円
Iと辺BCとの接点をD,線分BEと線分DFとの交点をG,線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき、である。

解答 正弦定理、余弦定理を利用する問題です。答にがやたらと出てきますが、出題者としてはシャレを利かしたつもりでも、目をつむってばかりにマークした人に有利になってしまうというのは考えものでは?

余弦定理より、
() 1 () 3 ......[]
()
() 2 () 2 () 3 ......[]
ABC面積Sは、
() 2 () 2 ......[]

ABCの内接円Iの半径をrとすると、より、

(
) 2 () 2 ......[]
A
と内接円Iの中心を結ぶ直線とBCとの交点をJとすると、より
Iの中心から点Bまでの距離は、
() 6 () 2 ......[]

(1) として、余弦定理より、


正弦定理より、△PBQの外接円Oの直径は、
() 2 () 2 ......[]

より
よって、Bと内接円Iの中心との距離から内接円Iの半径を引くと、外接円O (Bを通る)の直径よりも小さく、円Iと円Oは異なる2点で交わります。
() ......[]

(2) 方べきの定理より、
より、 ∴
() 2 () 2 ......[]

() 1 ......[]
BCFにおいて、BCFの中点Eを結ぶ線分と、CBFの中点Mを結ぶ線分との交点がGなので、Gは△BCFの重心です。よって、
() 1 () 2 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/01/28(土) 10:22:54|
  2. センター数学'12年
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