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センター数学IA '12年第2問

 センター数学IA '12年第2問 

[2]
 abを定数として2次関数
 ・・・①
について考える。関数①のグラフGの頂点の座標は
である。以下、この頂点が直線上にあるとする。このとき、
である。
(1) グラフGx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲は
である。また、Gx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は
である。
(2) 関数①のにおける最小値がとなるのは
または
のときである。また、のとき、関数①のにおける最大値はである。
一方、のときの①のグラフを
x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すると、のときのグラフと一致する。

解答 2次関数の最大最小・グラフの平行移動に関する問題です。

 ・・・①

 ・・・②
Gの頂点の座標は、
() 2 () 4 () 4 ......[]
この頂点が、上にあるとき、

 ・・・③
() 8 () 1 () 3 ......[]

(1) グラフGx軸と異なる2点で交わるとき、Gは上に凸な放物線なので頂点のy座標は正です。
③より、

(
) - () 9 () 4 ......[]
G
x軸の正の部分と負の部分の両方で交わるとき、Gのグラフはy軸との部分で交わります。①でとすると、,よって、③より、
の解は、より、
() 4 () 3 ......[]

(2) Gのグラフの軸の位置が、の範囲の中央()から左側か右側かで場合分けします。軸が範囲の中央から左にあるとき、,つまり、のとき、関数①は、範囲の右端において最小で、③より、
()
軸が範囲の中央から右にあるとき、つまり、のとき、関数①は、範囲の左端において最小で、③より、

()
(
) - () 3 () 1 ......[]
のとき、なので、②より関数①は、
となり、Gの頂点はで、のとき、最大値をとります。
() - () 1 () 3 ......[]
のとき、②よりなので、②より関数①は、
となり、Gの頂点はに来ます。x軸方向に4y軸方向に平行移動すると頂点はに来るので、のときのグラフと一致します。
() 4 () - () 1 () 6 ......[]


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  1. 2012/01/21(土) 02:09:18|
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