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センター数学IA '12年第1問

 センター数学IA '12年第1問 

[1](1) 不等式の解はである。
以下、aを自然数とする。
(2) 不等式
 ・・・①
の解はである。
(3) 不等式①を満たす整数xの個数をNとする。のとき、である。また、a456,・・・と増加するとき、Nが初めてより大きくなるのは、のときである。

解答 不等式を満たす整数解の個数の問題です。なお、1次方程式・1次不等式を参照してください。

(1)


() - () 2 () 1 ......[]

(2)  ・・・①


 ・・・②
() 1 () 2 ......[]

(3) のとき、を満たす整数xは、014個で、
() 4 ......[]
②は、のとき、,これを満たす整数xは、014個で、
②は、のとき、,これを満たす整数
xは、0126個で、
Nが初めて4より大きくなるのは、のときです。
() 5 ......[]


[2] kを定数とする。自然数mnに関する条件pqrを次のように定める。
pまたは
q
r
(1) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つ選べ。
pの否定である。
 または
 かつ
 かつ
 または
(2) 次のに当てはまるものを、下ののうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) とする。
pqであるための
(ii) とする。
prであるための
pqであるための
 必要十分条件である
 必要条件であるが、十分条件でない
 十分条件であるが、必要条件でない
 必要条件でも十分条件でもない

解答 相手の条件に対して「広い」方が必要条件、「狭い」方が十分条件、と、機械的に判断させないように、自然数、という指定をつけていますが、xy平面上で格子点を取ってみれば「広い」「狭い」で判断することができます。なお、条件と命題を参照してください。

(1) pまたはの否定は、ド・モルガンの法則により、「かつ」となります。
() 2 ......[]

(2)(i) のとき、pまたはqとなりますが、pを満たす整数の組の集合は、



qを満たす整数の組の集合もこれに一致します。従って、pqであるための必要十分条件です。
() ......[]
(ii) のとき、
pまたは
q
r
rを満たす整数の組の集合をとすると、
pを満たす整数の組の集合をとすると、
qを満たす整数の組の集合をとすると、
よって、
即ち、
q p r
p
rであるための十分条件であるが必要条件ではなく、
pqであるための必要条件であるが十分条件ではない、ということになります。
()  () ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/01/16(月) 14:06:23|
  2. センター数学'12年
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