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山形大医数学'11年[1]

山形大医数学'11[1]

座標平面において、点を中心とする半径2の円をCとする。点を通る直線と円Cとの交点をABとし、点を通る直線と円Cとの交点をPQとする。さらに、は垂直に交わるとする。ただし、は座標軸とは一致しない。の傾きをkで表す。このとき、次の問いに答えよ。
(1) の交点Dは円Cの内部にあることを示せ。
(2) ABの長さをkを用いて表せ。
(3) PQの長さをkを用いて表せ。
(4) 四角形APBQの面積の最大値を求めよ。

解答 (2)(3)は、半径rの円が直線から切り取る弦の長さが、円の中心と直線との距離をdとして、 ( 三平方の定理)となることを使って求めます。なお、円と直線の位置関係を参照してください。

(1) は、それぞれ定点を通る直線で、直交するので、交点は、2定点を直径の両端とする円周上にあります。は円Cの内部に位置するので、の交点Dは円Cの内部の点です。

(2) 円の中心と直線,つまり、との距離は、
 (点と直線の距離を参照)
ABの長さは、
......[]

(3) と直線,つまり、との距離は、
PQの長さは、
......[]

(4) 四角形APBQの面積Sは、
Sは、、つまり、のとき、最大値:7 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2012/01/15(日) 23:19:35|
  2. 11年数学
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