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大分大医数学'11年[1]

大分大医数学'11[1]

実数に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。

解答 コーシー・シュワルツの不等式を一般的な場合で証明する問題です。試験会場で安全確実に答案を書くなら以下のように数学的帰納法で証明するのでしょうが、もっとラクに証明する方法があります。

() のとき、
かつ の場合には、
かつ の場合には、
かつ の場合、または、 かつの場合には、
よってすべての場合において、
与式は成立します。
() のとき、が成立すると仮定します。
両辺を2乗した不等式の両辺に、を加えると、


よって、

より、
よって、のときにも、与不等式は成立します。
()()より、が成立します。

追記.コーシー・シュワルツの不等式を利用する問題は、例えば、東工大'08年前期[3]のような問題があります。この解答でも書きましたが、本問では以下のような解答が可能です。
実数 ()について、
が成立します。 ()であれば、等号は、となるときに成立します。
左辺を変形して、
これより、t 2次方程式:
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、
より、
積分形式のコーシー・シュワルツの不等式:
でも、同様の証明が可能です。任意の関数について、
となりますが、左辺を変形して、
これより、t 2次方程式:
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、


本問での場合には、式変形だけで証明できます。
右辺から左辺を引いて、


 (等号成立は、のとき)


以下のの場合には、内積を使って簡単に証明することができます。

福岡教育大
'11[1]

a
bcxyzを実数とする。
()
() のとき、の最小値を求めよ。

() として、より、

等号は、のとき、つまり、tを実数としてのときに成立します。
成分を入れて、
() ()として、
 (等号は、のときに成立)
よって、の最小値は ......[]

以下のような類題もあります。

東大理系
'95年前期[1]

すべての正の実数xyに対し、が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

の場合のコーシー・シュワルツの不等式において、として、


等号は、,つまり、のときに成立します。
よって、求める
kの最小値は、 ......[]


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  1. 2012/01/14(土) 01:47:57|
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