FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

阪大理系数学'11年前期[5]

阪大理系数学'11年前期[5]

正数rに対して、とおき、数列を次の漸化式で定める。
ただしから漸化式を用いてを決める際には硬貨を投げ、表が出たとき,裏が出たときとする。ここで表が出る確率と裏が出る確率は等しいとする。の期待値をとするとき、以下の問いに答えよ。
(1) およびを、rを用いて表せ。
(2) のときにを、nrを用いて表せ。
(3) 数列が収束するような正数rの範囲を求めよ。
(4) r(3)で求めた範囲を動くとき、極限値の最小値を求めよ。

解答 確率で漸化式の次の項を決めるという数列に驚かされますが、重量級の計算問題です。

(1) 硬貨を投げて表が出たとき、
(とします)
硬貨を投げて裏が出たとき、
(とします)
表が出る確率、裏が出る確率はともになので、期待値は、
 ・・・①
......[]
硬貨を2回投げて、表、表と出たとき、
(とします)
硬貨を2回投げて、表、裏と出たとき、
(とします)
硬貨を2回投げて、裏、表と出たとき、
(とします)
硬貨を2回投げて、裏、裏と出たとき、
(とします)
上記で、となる確率はいずれもで、の期待値は、
より、
 ・・・②

......[]
注意.の場合に、と分けて解答してある本もありますが、上記の解答で、その場合も含んでいるので注意してください。

(2) ①,②から数列が満たす漸化式の形が予測できます。ここで、一般的場合について、漸化式を考えます。回硬貨を投げたとき、がとり得る通りの値を,・・・,とします。 ()に対して、硬貨を1回投げて、表が出るときが定まり、裏が出るときが定まるとすれば、は、,・・・,の、通りの値をとり得ます。
のとき、2通りの値をとり、のとき、4通りの値を取るので、は、通りの値を取り(通り、通り)、各値をとる確率はです。
ここで、のとき、
1通りの値rをとり、の期待値とします。
さて、のとき、回硬貨を投げて、
()から、2回硬貨を投げたときの状況を考えます。
表、表と出たとすると、
(とします)
表、裏と出たとすると、
(とします)
裏、表と出たとすると、
(とします)
裏、裏と出たとすると、
(とします)
結局、n回硬貨を投げたとき、は、,・・・,という値をとり得ますが、その確率はいずれもです。の期待値は、
より、②のの場合を含めて
 () ・・・③
ここで、のとき、つまり、のとき、③は、
となり、は公差r等差数列になります。より、
(のときもOK) ......[]
,つまり、のとき、③より、は、初項:,公比等比数列です。

(のときもOK) ......[]

(3) なので、のとき、とすると、は発散します。
のとき、であれば、は収束します。と、
かつ
より、数列が収束するrの範囲は、
......[] (等比数列の極限を参照)

(4) が収束するとき、つまり、のとき、
これは、のとき、最小値 ......[] をとります。


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト
  1. 2012/01/09(月) 13:20:47|
  2. 11年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<東北大理系数学'11年前期[3] | ホーム | 九大数学'11年前期[3]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1335-717f7d1b
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。