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九大数学'11年前期[3]

九大数学'11年前期[3]

数列,・・・,,・・・
, 
をみたしているとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、一般項を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) とするとき、
, 
をみたす最小の自然数kを求めよ。

解答 与えられた漸化式の意味するところに気づければ容易です。

(1) まず、与えられた漸化式で、として感触をつかみます。


以後、の繰り返しになります。偶数番目の項が,奇数番目の項がです。
のとき、,但し、
......[]
問題文に「一般項」とあるので、統一的に一つの式で記述したければ、のときに1のときにとなるようなものを探します。例えば、です。これを使えば、
 ()
と記述できます。実は、(2)以下から、となることがわかります。

(2) とおくと、正接の倍角の公式より、
より、


より、 ......[]
(1)
(2)の結果より、とすると、,・・・ となって、では、が繰り返し、数列が周期を持つことがわかります。

(3) (2)をヒントとして、とすると、
,・・・
となり、となっていることがわかります。のときには、

これより、m整数として、

のとき、5は互いに素なので、mの倍数で、jを整数として、とおけます。

としていくと、のときに、となり、となります。よって、 を満たす最小の自然数kは、 ......[]


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  1. 2011/12/27(火) 23:52:52|
  2. 11年数学
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