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旭川医大数学'11年[2]

旭川医大数学'11[2]

平面上に正三角形でない鋭角三角形ABCが与えられている。辺BCCAABの長さをそれぞれabcとし、とおく。辺BCCAABをそれぞれに内分する点をXYZとする。また、Oを原点とする。次の問いに答えよ。
1 点Nと定義するとき、3直線AXBYCZNで交わることを示せ。
2 Pを△ABCの内部の点、△PBC,△PCA,△PABの面積をそれぞれとするとき、
と表される。このことを用いて、△ABCの外心をQとするとき、abcを用いて表せ。
3 △ABCの重心をGとする。点NQGを通る直線上にあるとき、△ABCは二等辺三角形であることを示せ。

解答 問3は凄まじい計算になります。ひたすら地道にやるしかなさそうです。

1 
となるので、チェバの定理の逆より、3直線AXBYCZは、1Mで交わります。メネラウスの定理より、
 ∴ ZMMC = c
よって、MZCcに内分する点です。
となるので、より、
 ・・・① (ベクトルの内分・外分を参照)
一方、


 ・・・②
①,②より、MNは一致し、3直線AXBYCZNで交わります。

別解.より、
②より、
よって、
ANXは一直線上の点です(ベクトルの1次独立を参照)
よって、BNYは一直線上の点です。
よって、CNZは一直線上の点です。
以上より、
3直線AXBYCZNで交わります。

2 問題文中の
 ・・・()
を導いておきます。APの延長とBCとの交点をLとします。Lは、BCに内分する点です。よって、
Pは、ALに内分する点です。よって、

とすると、中心角は円周角の2倍になるので、

ABCの外接円の半径をRとすると、△QBC,△QCA,△QABの面積は、
 ・・・③ (三角形の面積を参照)
正弦定理より、
ABCの面積について、
 (2倍角の公式を参照)
 (余弦定理を参照)



同様に、
以上より、()を用いて、
......[]

3 問2より、

 ( )

②を用いて、
NQGを通る直線上にあるとき、kを実数として、より、
両式よりkを消去して、
より、
展開して整理すると、
③を用いて、

正弦定理を用いて、
余弦定理を用いて、
分母を払って、
1項のカッコ内は、
2項の中カッコ内は、
よって、
カッコ内を整理して、
 (因数分解の技法を参照)
中カッコ内をで割ると、割り切れて、商は、 (因数定理を参照)
これをさらにで割ると、割り切れて、商は、,結局、
より、 または または
よって、△ABCは二等辺三角形です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/12/26(月) 03:37:48|
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