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島根大医数学'11年[1]

島根大医数学'11[1]

mを自然数とする。で割り切れる自然数nの最大値をとおくとき、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) mの式で表せ。
(3) が素数ならば、mも素数であることを証明せよ。

解答 類題が東工大'07前期[1],東工大'91年前期[1]にあります。なお、整数を参照してください。

(1) のとき、
1から32までの整数の中に2の倍数は16個あります。
この
16個のうち、の倍数が8(48121620242832)あります。
この
8個のうち、の倍数が4(8162432)あります。
この
4個のうち、の倍数が2(1632)あります。
この
2個のうち、の倍数が1(32)あります。
を素因数分解すると、
2の個数は、
......[]

(2)
1からまでの整数の中に2の倍数は個あります。
この個のうち、の倍数は個あります。
同様に、
1からまでの整数の中に ()の倍数は、個あります。
(1)と同様に考えて、を素因数分解すると、2の個数は、
......[]

(3) 元の命題の対偶「mが素数でなければは素数でない」を証明します。
mが素数でなければ、2以上の整数abで、となるものが存在します。
このとき、
(2)の結果を用いて、
ここで、

より、は素数ではありません。(証明終)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/12/12(月) 01:49:55|
  2. 11年数学
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