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防衛医大数学'11年[4]

防衛医大数学'11[4]

数列

,・・・,,・・・
について、以下の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底である。
(1) 36項はいくらか。
(2) 不定積分を求めよ。
(3) 1項から第36項までのすべての項の積をAとする。このときAの整数部分の桁数はいくらか。ただし、である。

解答 (3)の問題文だけ読むと、とてつもない問題に見えますが、(2)を利用することにより解答できます。

(1) 1群には1項あり、第2群には2項あり、第n群にはn項あります。第8群までで、項あるので、第36項は第8群の末尾です。第8群には8項あり、第36項は、 ......[]

(2)  (部分積分法を参照)
(C:積分定数) ......[]

(3) 1群は,第2群の全ての項の積は,第3群の全ての項の積は,第n群の全ての項の積は
1項から第36項までの全ての項の積Aは、第1群から第8群までの全ての項の積で、


 (対数関数を参照)
ここで、などとなっていることから、(2)の利用を考え、とおくと、として、
より、
において、
よりは単調増加な関数で、において、だから、

より、を考慮して、で加え合わせると、
 (のときに注意)


より、
以上より、
より、

 (常用対数を参照)
よって、より、Aの整数部分の桁数は2 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/12/11(日) 01:33:21|
  2. 11年数学
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