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横浜国大理工数学'11年前期[4]

横浜国大理工数学'11年前期[4]

xy平面上の2曲線は点Pを共有し、Pにおいて共通の接線をもっている。ただし、aは定数とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、の概形を描け。ただし、は証明なしに用いてよい。
(2) Pの座標及びaの値を求めよ。
(3) 不定積分を求めよ。
(4) およびx軸で囲まれる部分を、x軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。

解答 微積分に関する総合問題です。

(1)  (商の微分法を参照)
とすると、,このとき、
とすると、,このとき、,変曲点は、
......[] (関数の凹凸を参照)
より、増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x

e



0

0
y()(0)

グラフは右図。

(2) Px座標をt とすると、が点Pを共有することから、
 ・・・①
Pにおいて共通の接線をもつことから、についてより、

①に代入して、
 ∴
①より、
Pの座標は、 ......[]
......[]

(3)  (部分積分法を参照)





(C:積分定数) ......[]

(4) 求める体積Vは、(3)の結果を用いて、


......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/12/04(日) 15:15:03|
  2. 11年数学
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