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同志社大理工数学'11年[4]

同志社大理工数学'11[4]

数列
,・・・
は漸化式
 ()
を満たしている。として次の問に答えよ。
(1) におけるの最大値と最小値を求めよ。
(2) におけるの最大値と最小値を求めよ。
(3) ()が成立することを数学的帰納法を用いて示せ。
(4) ()が成立することを示せ。
(5) を求めよ。

解答 いきなり、?と聞かれると厳しいですが、丁寧な誘導がついているので、誘導通りに進めて行けば解答できます。

(1)
対数微分法によって微分すると、

 ( )
よって、単調増加関数です。
において、
より、
最大値:2,最小値:1 ......[]

(2)
対数微分法によって微分すると、

よって、は単調増加関数です。
において、
より、
最大値:,最小値: ......[]

(3) ()が成立することを数学的帰納法を用いて示します。
() のとき、より、成立します。
() のとき、が成立すると仮定します。
(1)よりは単調増加関数なので、
よって、となり、のときも成立します。
()()より、 ()が成立します。

(4) は全実数において連続かつ微分可能な関数なので、平均値の定理が使えます。平均値の定理より、
を満たす実数cが存在します。(2)より、は単調増加関数なので、,よって、より、
 ()

(5) (4)の結果より、
より、
ここで、とすると、より、 (等比数列の極限を参照)
はさみうちの原理より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/11/21(月) 12:39:45|
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