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日本女子大理数学'11年前期[3]

日本女子大理数学'11年前期[3]

とおく。
(1) 2次方程式2つの解をαβ ()とする。αβ の値を求めよ。
(2) の値を求めよ。
(3) 関数を求めよ。
(4) 方程式を解け。

解答 (2)を活かして考えれば(4)は容易です。

(1) より、


 (2次方程式を参照)
......[]

(2) の解がであることにより、
......[]

(3) ......[]

(4) (2)と同様に、の解がであることにより、
と合わせて、は、方程式の解にもなっています。
従って、は、で割り切れます
(因数定理を参照)。除算を実行する(整式の除算を参照)と、商がとなり、
の解は、
の解が、
の解が、
解は、 ......[]

追記.本問だけであれば容易ですが、本問には以下のような類題があります。

一橋大'97年後期[1]

a
0と異なる実数とし、とおく。
(1) は、で割り切れることを示せ。
(2) をみたす異なる実数pqが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

解答(1)は、の具体的な形が与えられていなくても示すことが可能です。なお、'97年には、岡山大[2]にも類題が出題されています。

(1) 2次方程式の解を、とします。

です。よって、4次方程式は、
より、やはり、解をもちます。よって、は、でもでも割り切れます。従って、で割り切れます。

(2) より、
よって、pqは、方程式の解です。ですが、
より、pqは、方程式の解ではありません。




これより、pqは、
2解であり、この2次方程式が相異なる2実数解pqをもつために、判別式について、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/11/11(金) 14:41:06|
  2. 11年数学
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