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首都大理系数学'11年前期[2]

首都大理系数学'11年前期[2]

座標空間の3ABCを通る平面をαとする。点Dを通り、ベクトルに平行な直線をとする。また、点Dを通り、ベクトルに平行な直線をとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) αの交点をEとし、αとの交点をFとする。EFの座標を求めよ。
(2) のなす角をθ ()とするとき、の値を求めよ。
(3) DEFの面積を求めよ。

解答 平面の方程式を利用すれば大したことはないのですが、利用しない、ということになると、やや面倒になります。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1)
平面α上の点は、pqを実数として、
 ・・・①
と表すことができます。ここで、双方に垂直なベクトルを見つけることができたとして、①両辺ととの内積を考えると、より、
 ・・・②
という関係式が成り立ちます。この関係式を平面
αの方程式と言います。そこで、を求めることにします。
 ・・・③
 ・・・④
④より、,これを③に代入して、
 ∴
よって、
とすれば、は、双方に垂直になります。このを、平面αの法線ベクトルと言います。法線ベクトルは方向のみが重要で、の大きさは重要な要素ではないので、として、とします。このとき、②は、
 ・・・⑤
となります。
直線上の点は、
 ・・・⑥
と表せます。平面α上の点は⑤を満たすので、これを⑤に代入すると、

⑥より、Eの座標は、 ......[]
直線上の点は、
 ・・・⑦
と表せます。これを⑤に代入すると、

⑦より、Fの座標は、 ......[]

(2)
より、
......[]

(3) DEFの面積は、
......[] (三角形の面積を参照)

追記.上記で、の双方に垂直なベクトルは、外積を利用すれば、
と求めることができます。答案には、となる事実を書いておけば良いでしょう。
平面の方程式を利用しない場合には、平面
α上の点が、
 ・・・⑧ (平面のベクトル方程式を参照)
を満たすことを利用します。⑥より、直線上の点が⑧を満たすことから、
より、



を連立して、Eの座標を求めることになります。Fの座標も同様です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/11/08(火) 14:05:44|
  2. 11年数学
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