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福井大医数学'11年[4]

福井大医数学'11[4]

関数 ()は次の条件を満たしている。
(i)
(ii)
 ()
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) の具体的な形を推測し、その結果を数学的帰納法で証明せよ。
(3) を求めよ。ただし、に対してとなることを用いてよい。

解答 単なる数Ⅲの総合計算問題に見えるのですが、やってみると、工夫が必要になる問題です。

(1) (ii)において、とすると、

 (部分積分法を参照)


 ・・・①
 (不定積分を参照)
......[]
(ii)
において、とすると、

 ( )
......[]

(2) (1)の結果より、 ()と予測できます。この予測を数学的帰納法によって証明します。
() のとき、(i)より、
よって、予測は成立します。
() のとき、予測が成立するとして、
が成立します。
ここで、単純素朴に、
(ii)として、
 ・・・②
を計算しようとしても、という形の積分が出てきて困ります。そこで、先回りして、
とおいて、の漸化式を考えることにします(定積分の漸化式を参照)
 ・・・③
さて、②に、を代入すると、


 ( )
よって、予測はにおいても成立します。
()()より、予測: ()が成立することが証明されました。

(3) (2)より、 ()
 (積の微分法を参照)
 ・・・④
 (等比数列を参照)
これを利用すると、④より、
ここで、として、 より(等比数列の極限を参照)
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/11/06(日) 23:09:22|
  2. 11年数学
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