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阪大理系数学'11年前期[4]

阪大理系数学'11年前期[4]

abcを正の定数とし、xの関数を考える。以下、定数はすべて実数とする。
(1) 定数pqに対し、次をみたす定数rが存在することを示せ。
ならば
(2) 恒等式を用いて、次をみたす定数klが存在することを示せ。
ならば
(3) すべての自然数nに対して、が自然数であるとする。このとき関数は、自然数の定数mを用いてと表されることを示せ。

解答 入試問題としてはあまり見かけないタイプの問題です。「定数が存在することを示せ」という問題に対しては、定数を求める手順を説明すれば、存在することを示したことになります。なお、整数条件と命題を参照してください。

(1) 三角不等式において、αpxβ qとすると、においては、
ここで、をみたすような定数rをとると、において、
とできます。よって、ならば、をみたす定数rが存在します。

(2) 題意をみたすkが存在するとして、とすると、
ですが、ここで、kが正の定数であれば、において、
なので、
 ・・・①
また、

ここで、正の定数kであれば、
(1)の結果において、とすれば、
 ・・・②
を満たすような定数rをとれば、において、
 ・・・③
①,③より、
即ち、とし、②をみたすような定数rをとり、となるように定数klをとれば、において、
とすることができます。よって、題意をみたす定数klが存在します。

(3) (2)の結果において、 (nは任意の自然数)とすると、
 ・・・④
ここで、abcが正であることから、
つまり、なので、は自然数です。nを十分に大きくとれば、④の範囲:に入る自然数xをただ1個にできます。この自然数をmとすると、
 (このとき、、つまり、に限られます)
このとき、
となり、
と表されます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/10/31(月) 11:40:23|
  2. 11年数学
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