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信州大医数学'11年[2]

信州大医数学'11[2]

原点を中心とする半径1の円Sと点Aを考える。ただし、とする。点Aと点Bを結ぶ直線と円Sとの交点をD,点ACを結ぶ直線と円Sとの交点をEとする。点Dおよび点Eからx軸に下ろした垂線の足をそれぞれFおよびGとする。直線DGと直線EFの交点をMとするとき直線AMx軸に直交することを示せ。

解答 図形と方程式、平面ベクトル、2通りの解法で考えてみます。どちらにしても計算はかなり面倒です。

解法
1
Dx座標をb ()とすると、y座標はです。
直線
BDの方程式は、2BDを通ることから(直線の方程式を参照)
 ・・・①
Ex座標をc ()とすると、y座標はです。
直線
CEの方程式は、2CEを通ることから、
 ・・・②
直線DGの方程式は、2DGを通る直線として、
 ・・・③
直線EFの方程式は、2EFを通る直線として、
 ・・・④
①,②を連立し、交点Ax座標は、

 ・・・⑤
③,④を連立し、交点
Mx座標は、

 ・・・⑥
⑤について、右辺を
有理化すると、


⑥について、右辺を有理化すると、



よって、点Aと点Mx座標は一致し、直線AMx軸に垂直です。

解法2
AからBCに下ろした垂線の足をHとします。
() ()
とします。また、より、とします。
に注意します。
ABH CBDより、BHAB BDBC

ACH BCEより、CHAC CEBC

よって、BHCH
ACD BAEより、ADAC AEAB
pbc qcb
 ・・・⑦
BDF BAHより、DFAH BDAB
u1 1

CEG CAHより、EGAH CECA
v1 1


DM
MG DFEG uvと、より、


よって、です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/10/24(月) 14:30:17|
  2. 11年数学
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