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九大数学'11年前期[5]

九大数学'11年前期[5]

1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。その4枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。
操作:1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す。球に書かれた数字がijならば、iのカードとjのカードを入れ替える。その後、2個の球は袋に戻す。
はじめにカードを左から順に1234と並べ、上の操作をn回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。
(1) のとき、カードが左から順に1234と並ぶ確率を求めよ。
(2) のとき、カードが左から順に4321と並ぶ確率を求めよ。
(3) のとき、左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。
(4) のとき、左端のカードの数字の期待値を求めよ。

解答 (4)では、左端に2が来るのも、3が来るのも、4が来るのも同じ確率です。

数字
1234が書かれた球を①,②,③,④と表すことにします。
4個の球から2個の球を取り出す取り出し方は、通りあります。
1回の操作で、数字1が書かれたカードが左端にいるのは、②,③,④の3個の中から2個を取り出した場合で、通りあって、こうなる確率はです。
1回の操作で、数字1が書かれたカードが左から2番目にいるのは、①と②を取り出した場合で、こうなる確率は,同様に、数字1が書かれたカードが左から3番目にいる確率も、4番目にいる確率もです。

(1) のとき、カードが左から順に1234と並ぶのは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが6通りのいずれであっても、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが、1回目に取り出した2個の球の組み合わせと同じになる場合です。
この確率は、 ......[]

(2) のとき、カードが左から順に4321と並ぶのは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが①と④で、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが②と③、あるいは、1回目に取り出した2個の球の組み合わせが②と③で、2回目に取り出した2個の球の組み合わせが①と④になる場合です。
この確率は、 ......[]

(3) 上記の検討により、1回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる(確率)とき、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、2回目の操作でも、②,③,④の3個の中から2個を取り出した場合で、こうなる確率は、です。
1回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいない(確率)とき、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端に来るのは、2回目の操作で、左端にいるカードと同じ数字の球と①を取り出す場合で、こうなる確率は、です。
求める確率は、
......[]

(4) (3)の結果より、2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる(確率)とき、3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、3回目の操作で、②,③,④の3個の中から2個を取り出した場合で、こうなる確率は、です。
2回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいない(確率)とき、3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にくるのは、3回目の操作で、左端にいるカードと同じ数字の球と①を取り出す場合で、こうなる確率は、です。
3回の操作で数字1が書かれたカードが左端にいる確率は、です。
上記の検討より、
1回の操作後に、数字1が書かれたカードが左から2番目、3番目、4番目にいる確率は等しくです。各回の操作前に、数字1が書かれたカードがどの位置にいても、その回の操作で左から2番目、3番目、4番目にくる確率は等しくなります。数字234の書かれたカードについても同様のことが言えます。
従って、
3回の操作で、左端に数字2が書かれたカードが来る確率も、数字3が書かれたカードが来る確率も、数字4が書かれたカードがくる確率も等しくなり、いずれも、
となります。よって、求める期待値は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/10/11(火) 13:15:57|
  2. 11年数学
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