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電通大数学'11年前期[4]

電通大数学'11年前期[4]

直線の法線ベクトルをとし、点Pと直線との距離をhとする。ただし、で、とする。
以下の問いに答えよ。

(1) の成分abを求めよ。
(2) 原点をOとし、でないに対し、のなす角をθ とする。
このとき、hθ を用いて表せ。また、hxyを用いて表せ。
以下では、曲線Cを、点Aと直線からの距離が等しい点Pの軌跡とする。
(3) 曲線Cの方程式(xyの関係式)を求めよ。
(4) 曲線Cと直線 (t は定数)との共有点の個数を求めよ。
(5) 曲線Cと直線2個の共有点QRをもつとき、線分QRの長さをt を用いて表せ。
(6) 曲線Cと直線とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。

解答 曲線Cは、軸に対して傾いていますが、放物線の定義を満たしています。(6)の面積は回転によらずとも(5)を活用して答えることができます。

(1) 直線上の点で原点以外の点、例えば点Bを考えます。直線の方向ベクトルと垂直なベクトルは (内積を参照),よって、より、としてより、 ......[]

(2) Pから直線に下ろした垂線の足をHとします。
......[]
より、
また、
よって、
......[]

(3) より、のとき、
両辺を2乗すると、

......[] ・・・①

(4) のとき、
 ・・・②
これをx2次方程式とみて、判別式Dを考えます(2次方程式の一般論を参照)
のときとなり、共有点は0個、のときとなり、共有点は1個、のときとなり、共有点は2 ......[]

(5) 曲線Cと直線2個の共有点QRをもつとき、つまり、のとき、方程式②を解くと、QRx座標は、
線分QRの長さは、QRx座標の差として、
......[]

(6) (4)より線分QRが存在するのは、QRが一致する場合を含めて、のときです。従って、求める面積S(定積分と面積を参照)
......[]

追記.方程式①で表される曲線Cは、直線を準線、点Aを焦点とする放物線です。放物線Cx軸、y軸に対して傾いていますが、放物線の軸は、直線に垂直でAを通る直線:です。
直線に平行な直線:と放物線Cとの交点を求めると、①とを連立し、
整理して、

のときには (重解)となりますが、は放物線Cの頂点です。
のときに
2交点となりますが、2交点は軸:上の点に関して対称な位置にあります。
放物線
Cの頂点と焦点の距離はです。
放物線
Cを、放物線の軸がy軸、頂点が原点、焦点がに来るように回転させると、放物線Cは、より、となります。
元の
x軸を同じように回転させると、点を通り傾きの直線:となります。
を連立すると、
として、
(6)の面積Sは、
なります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/10/01(土) 13:00:31|
  2. 11年数学
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