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横浜国大工数学'11年前期[5]

横浜国大工数学'11年前期[5]

xy平面上に直線がある。行列の表す1次変換f は、次の(i)(ii)(iii)を満たす。
(i) 平面の点のf による像はすべて上にある。
(ii) f 上の点をすべて原点に移す。
(iii) Pが円上を動くとき、f によるPの像のx座標は最大値,最小値をとる。
次の問いに答えよ。
(1) Aを求めよ。またの方程式を求めよ。
(2) (iii)で最大値をとるときのPの座標を求めよ。

解答 1次変換の基本問題です。(i)(ii)Aが零行列のときでも成立します。場合分けが面倒になるので、条件(iii)から考察しましょう。

(1) 条件(iii)から考えます。円の方程式を変形すると、
 (円の方程式を参照)
これより、 (θ は任意の角)とおく(三角関数を参照)と、
 ・・・①
f による点Pの像は、
Pの像のx座標Xは、の場合(の場合は、となり、条件(iii)を満たしません)を除いて、
 ・・・② (三角関数の合成を参照)
但し、 ・・・③
Xの最大値は、のとき、 ・・・④
Xの最小値は、のとき、 ・・・⑤
④+⑤より、 ・・・⑥
④-⑤より、
より、
 ・・・⑦
⑥,⑦より、abは、t2次方程式
これより、 ・・・⑧
条件
(i)を考えます。直線として、平面上の任意の点f による像は、
これが直線上にあるので、

平面上の任意の点について、これが成立するために、恒等式の条件より、
より、 ・・・⑨
また、より、直線となります。
条件
(ii)を考えます。t を任意の実数として直線上の点f による像は、
これが原点になるので、
t は任意の実数なので、
より ・・・⑩ (これが成立すれば、⑨よりとなります)
(a) のとき、⑩より,⑨より、,よって、
......[]
(b) のとき、⑩より,⑨より、,よって、
......[]

(2) (1)の③と⑧より、
(a) のとき、
(b) のとき、
となります。(iii)で②のXが最大値をとるとき、の範囲で考えると、
となるので、
(a) のとき、①より、

P ......[]
(b) のとき、①より、

P ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/09/26(月) 01:13:20|
  2. 11年数学
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