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北大理系数学'11年前期[5]

北大理系数学'11年前期[5]

とする。に対して
と定める。
(1) を求めよ。
(2) となるxの範囲を求めよ。
(3) の極大値および極小値を求めよ。

解答 難問というわけではありませんが、積分範囲が被積分関数の微分不可能な点を含むとき、公式を使って、
 ・・・() (定積分と微分(その2)を参照)
としても良いのか、という問題があります。根号を含むような関数、例えばのような関数は、根号内が0になるところにおいて微分不可能(微分・導関数を参照)なので、根号がつく関数では注意が必要です。
を考えてみます。
微分可能な関数を満たし、の前後で符号をプラスからマイナスに変えるとします。つまり、においてにおいてだとします。となるとき、


 ・・・①
となるとき、

 ・・・②
は、において連続なのですが、①と②では、の符号が異なることに注意が必要です。一般的には、積分範囲内に被積分関数の微分不可能な点がある場合、()は使えません。

(1)
の範囲での符号がどうなるかが問題ですが、であればであればです。従って、の範囲がを含むとき、つまり、のとき、となりますが、このときは、積分区間を分けて考える必要があります(絶対値を含む定積分を参照)
(i) のとき、となるので、の範囲において、となり、です。よって、
(ii) のとき、上記より、においてはで、ですが、においてはで、です。積分区間を分けて、




ところで、は、
(i)において、
(ii)において、のとき、
なので、連続です。は、
(i)において、
(ii)において、
なので、やはり連続です。つまり、においても微分可能です。以上より、
......[]
追記.公式:を使えば、
 ・・・③
となります。ですが、
のとき
のとき 
()
となるので、③を解答としてOKです。但し、上記の問題点は隠れてしまいます。

(2) (i) のとき、
 (和→積の公式を使用、三角関数の諸公式を参照)
のとき、(1)の結果より、となるのは、のときで、のとき、つまり、 ()のときです。
(ii) のとき、
のとき、(1)の結果より、となるのは、のときで、なのでのとき、つまり、のときです。
(i)(ii)となる範囲は、境界のところでつながっていて、 ......[]

(3) より、となるので、次の増減表が得られます。
x0



00



に注意して、増減表より(関数の増減を参照)
極大値:
......[]
極小値:
......[]
注意.極大は(1)(2)(i)の範囲に、極小は(1)(2)(ii)の範囲にあります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/09/12(月) 12:27:40|
  2. 11年数学
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