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岐阜大数学'11年[3]

岐阜大数学'11[3]

平面上に点Oを中心とする半径1の円SSに内接する正三角形ABCがある。以下の問いに答えよ。
(1) 内積の値を求めよ。
(2) を用いて表せ。
(3) 平面上の任意の点Pに対して、以下の不等式が成り立つことを示せ。
また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。
(4) Sの周上の任意の点Qに対して、
となることを示せ。
(5) Sの周上の任意の点Qに対して、
の値を求めよ。

解答 内積を用いるベクトルの計算問題ですが、式の形をよく見て工夫して計算しましょう。

(1) のなす角がであることと、であることとから、
......[]
同様に、

(2) stを実数として、とおきます(平面ベクトルの応用を参照)(1)の結果を用いて、
 ・・・①
 ・・・②
①,②を連立して解くと、
......[]

(3) より、
 ()
 ((2)より)
等号が成立するのは、,つまり、点Pが原点にくるときです。

(4) pqを実数として、とおきます。Qは円S上の点なので、,よって、

 ・・・③

(2)の結果を用いて、

 ( )

(5) より、

 ()

......[] ( (4))


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/09/11(日) 23:47:20|
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