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東北大理系数学'11年前期[5]

東北大理系数学'11年前期[5]

aを実数、z0でない複素数とする。zと共役な複素数をで表す。
(1) 次を満たすzを求めよ。
(2) 次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ。
(3) 次を満たすzが存在するようなaの範囲を求めよ。

解答 複素数の問題と思いきや、(2)(3)は実数の問題でした。

(1) 与式にzをかけます。
 ・・・① (2次方程式を参照)
但し、与式はを含むので、が解になることはなく、です。
①がという解をもつとすると、より
(i) のとき、①は、
より、
(ii) のとき、①の解は、
よって、 ......[]

(2) 与式にzをかけます。
 ・・・②
uvを実数として、とおくと、です。
これは、かつて複素数平面が入試範囲に入っていたときに、
となっていた公式に他なりません。は実数なので、は実数です。従って、より、zは実数に限られ、です。②は、
 ・・・③
となります。但し、与式はを含むので、をが解になることはなく、です。
②がという解をもつとすると
(i) のとき、②は、
より、,即ち、で、②を満たすz ()が存在します。
(ii) のとき、③をz2次方程式とみるとき、実数解zが存在するために、
判別式:
以上より、与式を満たすzが存在するaの範囲は、を含めて、 ......[]

(3) 与式にzをかけます。
 ・・・③
uvを実数として、とおくと、です。
より、とおくと、xは実数でです。これより、③は、
 ・・・④
となります。但し、与式はを含むので、が解になることはなく、です。従ってです。
これより与式を満たす
zが存在するとき、④はの範囲に解を持ちます。この条件は、
として、のグラフの軸が ()であることから、,即ち、 ......[]  (2次方程式の一般論を参照)


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