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東工大数学'11年後期[2]

東工大数学'11年後期[2]

次の式
 ()
で表されるxy平面上の曲線Cを考える。定数に対し、点Pを通り、x軸に垂直な直線と曲線Cの交点をQとする。曲線Cx軸,y軸および直線で囲まれた図形の面積をとし、△OPQの面積をとする。
(1) tを用いて表せ。
(2) 極限を求めよ。

解答 頻出の定積分に関する問題です。いろいろな計算法がありますが、追記で詳しく検討してみます。

(1) より、 (双曲線を参照)
よりなので、 ・・・①
よって、
Qの座標は
三角形
OPQは、底辺t,高さより、面積は、 ......[]
 ・・・② (定積分と面積を参照)
①を用いて、
 (置換積分(その3)を参照)



 ・・・③
よって、③より、
......[]

(2)
のとき、
 (極限の公式を参照)
......[]

追記.(1)の②の定積分は、以下のように計算することもできます。
xのとき、θ (ただし、) (置換積分を参照)
とおくと、
θのときu
 (分数関数の積分を参照)

とおくと、




 ・・・④
より、 ()
④に代入して、
(1)の定積分については、[解答]のように部分積分法と組み合わせて計算するのがよいと思いますが、とおいて置換積分することもできます(早大理工'10[4]を参照)
ですが、いずれにせよ、かなり計算が面倒です。
ここでは、かなり技巧的に過ぎますが、ラクに計算できる技巧を紹介しておきましょう。
東大理系'10[4]の問題に盛り込まれている考え方です(東大理系10年前期問題[4]の検討を参照してください)
 ・・・⑤
とおきます。

xのとき、u
この置換により、であれば、
とすぐに計算できます。
の場合は、少々工夫します。
より、
 ・・・⑥
⑤+⑥より、
これより、





とすることもできますが、として、以下のようにするともっとラクに行きます。
 (ここがポイント)
1項だけ置換積分して、






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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/12(金) 13:36:49|
  2. 東工大数学'11年
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