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一橋大数学'11年前期[2]

一橋大数学'11年前期[2]

Oを中心とする半径rの円周上に、2ABとなるようにとりとおく。この円周上に点Cを、線分OCが線分ABと交わるようにとり、線分AB上に点Dをとる。また、点Pは線分OA上を、点Qは線分OB上を、それぞれ動くとする。
(1) の最小値をrθ で表せ。
(2) とおく。の最小値をaθ で表せ。
(3) さらに、点Dが線分AB上を動くときのの最小値をrθ で表せ。

解答 正弦定理や余弦定理の適用が浮かぶのですが、うまくいきません。座標設定してみてもラチがあきません。ですが、円周上に位置する点の、直径に関する対称点は、円周上に来る、ということに気づけば容易に解決します。

(1) 直線OAに関するCの対称点をE,直線OBに関するCの対称点をFとすると、EFは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。また、です。
 ・・・①
となりますが、線分EFと、線分OA,線分OBとの交点をとすると、より、
 ・・・②
①,②より、
これは、の最小値がEFであることを示しています。
余弦定理より、
 (倍角の公式を参照)
より、
よって、の最小値は
......[]

(2) 直線OAに関するBの対称点をG,直線OBに関するAの対称点をHとすると、GHは、点Oを中心とする半径rの円周上の点です。線分AB上の点Dの直線OAに関する対称点Iは線分AG上の点です。Dの直線OBに関する対称点Jは線分BH上の点です。
です。
 ・・・③
となりますが、線分IJと、線分OA,線分OBとの交点をとすると、より、
 ・・・④
③,④より、
これは、の最小値がIJであることを示しています。
余弦定理より、
 (倍角の公式を利用)
より、よって、の最小値は ......[]

(3) Oから線分ABに垂線OK (Kは線分ABの中点です)を下ろし、の大きさをφ ()とすると、
Dが線分AB上を動くときのの最小値は、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/08/05(金) 08:24:37|
  2. 一橋大数学'11年
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