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一橋大数学'11年前期[1]

一橋大数学'11年前期[1]

(1) 自然数xyは、および
をみたす。xyの組をすべて求めよ。
(2) 自然数xyzは、および
をみたす。xyzの組をすべて求めよ。

解答 (2)は、(1)と同様にして、両辺にをかけてみても難しいものがあります。そこで、xyが大きくなると、が小さくなり、1に近くなり、が大きく、つまり、zが小さくないと等式が成立しなくなる、というところに着目します。なお、整数を参照してください。

(1) 与式両辺にをかけて、

 ・・・①
このまま、とするとうまく行かないので、左辺でをくくり出せるように①に2をかけておきます。


と、15の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、
よって、
......[]

(2) まず、具体的に、数値をあてはめて感触を探ります。
とすると、です。与式より、
両辺にをかけます。



と、40の約数であることから、
(i) かつ
(ii)
かつ
2通りに限られます。
(i)のとき、
(ii)のとき、で不適です。
これで、という解が
1組得られました。
とすると、 ・・・②
よって、
これより、
②を満たせないので、の場合には題意を満たすの組はありません。
以上より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/07/30(土) 10:32:49|
  2. 一橋大数学'11年
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