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早大理工数学'11年[4]検討

早大理工数学'11[4]検討

[4](解答はこちら) 楕円が題材として取り上げられていますが、接線の方程式を使う程度で、楕円としての性質を使うわけではなく、微分を持ち出すまでもない最大最小の問題です。解答では、正接の加法定理と相加平均・相乗平均の関係を用いています。楕円や2直線のなす角を考えるあたりは教科書レベルの基本問題と言えますが、相加平均・相乗平均の使い方には少々注意が必要です。
本問では、
2直線のなす角の正接が、楕円上の点の座標x座標とy座標の積に依存して変化します。2直線のなす角の最大を、最大として考えることになりますが、という形で相加平均・相乗平均の関係を利用することはできません。なぜかと言うと、が一定値にならないからです。が一定値cになるであれば、として、「のとき最大値をとる」とすることができます。しかし、本問ではは定数になりません。
例えば、「のとき、の最小値を求めよ。」という問題を、相加平均・相乗平均の関係を用いて、

(等号はのとき成立) ・・・() より、
は、,即ち、のとき、最小値:
(小さい方のをとるべきでしょうが)をとる。
などとするのは間違いです。なぜなら、
()の右辺が定数にならないからです。
正しくは、は、のときに最小値:をとります。
とすると、であって、においてにおいてより、において、は、のとき、最小値をとります。確かに、のときとはなりますが、が最小のとき
()と、が最小のとき()とが一致していません。この場合には、相加平均・相乗平均の関係を用いて最小値を求めることはできないのです。
そこで、早大理工
'11[4]では、が一定値となることに着目して、相加平均・相乗平均の関係を使いました。ミスし易いポイントなので、よく注意してください。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/07/18(月) 14:26:10|
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