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東大理系数学'11年前期[4]検討

東大理系数学'11年前期[4]検討

[4](解答はこちら) 本問はややひねられていると言え、標準問題なので落とせません。東大でも、こうした標準的な問題が毎年必ず出題されるので、試験会場では、これを確実に得点することを目指してください。
04年理系前期[1]には、本問の二等辺三角形を正三角形とした問題が出題されています。本問とは異なるタイプの問題ですが、やはり対称性を活かして考える問題でした。放物線を題材とした図形と方程式分野の問題は、他にも93年理系後期[3]などしばしば見かけます。
08年理系前期[4]では、本問と同様に、放物線と直線との2交点の間に対称性があるので、2次方程式の解と係数の関係、対称式を利用して解くことになります。こうした問題は東大に限らず頻出なのですが、いわゆる頻出技巧は、東大受験者であっても、しっかり修得しておく必要がある、ということを示唆しています。
ただし、
2次方程式の2解の間に対称性がない状況設定の07年理系前期[3]は、頻出技巧だけでは解決のできない難問でした。
放物線と直線との
2交点の間に対称性があれば、放物線の方程式、直線の方程式を連立して得られる2次方程式の2解をαβとして、解と係数の関係によって、を求め、対称式の性質を使って考えて行くことができます。このときに1つ注意点があります。本問でも、問題文に何の記述もありませんが、「αβが、交点のx座標になっている」というところに条件が隠されています。「座標」ということは、実数でなければならないので、2次方程式が実数解をもつ条件:判別式≧0を考える必要があります。これを見落とさないようにしてください。
上を点が動くとき、点が描く軌跡を求めよ、というような問題でも同様です。として、対称式を利用すれば、

 ∴  ・・・①
という具合に軌跡の式を求めることはできるのですが、xy2解とするt2次方程式:
が実数解を持つことから、
判別式: ∴
①より、
 ∴
という条件が隠れています。軌跡は、放物線①のの部分、となるので注意してください。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/05/11(水) 13:19:13|
  2. 東大数学'11年
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