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東大理系数学'11年前期[6]


東大理系数学'11年前期[6]

(1) xyを実数とし、とする。tを変数とする2次関数における最大値と最小値の差を求めよ。
(2) 次の条件を満たす点全体からなる座標平面内の領域をSとする。
かつ、実数zの範囲の全ての実数tに対して
を満たすようなものが存在する。
Sの概形を図示せよ。
(3) 次の条件を満たす点全体からなる座標空間内の領域をVとする。
かつ、の範囲の全ての実数tに対して、
が成り立つ。
Vの体積を求めよ。

解答 (1)はよくある2次関数の最大・最小問題です。(2)(3)の題意が取りづらいのですが、問題文に「の範囲の全ての実数tに対して」と書かれているので、(1)で求めた最大値,最小値で置き換えて不等式を考えます。
(2)(3)で何が違うのだろうと思うかも知れません。話をかつに限れば、(3)の条件を満たすは、を満たし、4頂点とする四面体の内側になりますが、(2)では、四面体が存在するの範囲、つまり、3頂点とする三角形の内部(この三角形の上側に(3)の四面体が存在する)、を聞いています。つまり、(3)では立体を求めているのに対し、(2)では立体が存在するの範囲を求めています。
(2)(3)は、以下では細かく書いていますが、境界線となる直線、曲線が複雑に絡み合い、本番では正確な記述にこだわると猛烈に面倒で、時間をロスするので注意してください。

(1) xyに対して、における最大値を,最小値をとします(2次関数の最大最小を参照)のとき、のグラフは下に凸な放物線で、右図より、
(i) ,つまり、のとき、
(ii) ,つまり、のとき、
(iii) ,つまり、のとき、
(iv) ,つまり、のとき、
以上より、最大値と最小値の差は、
......[]

(2)
の範囲の全ての実数tに対して成り立つようなzが存在するために、の最大値,最小値がであることより、
 ・・・①
①を満たす
zが存在するために、

 ・・・②
以下、場合分けして②を調べます。
(i) のとき、(1)と②より、
(ii) のとき、(1)と②より、
分母を払って整理すると、
つまりよりなので、

境界線は、,増減表は以下の通り(関数の増減を参照)
x0

1

0
y
0

における接線でこれは(i)の境界線です。
を連立すると、
のときのとき
の交点はです。
(iii) のとき、(1)と②より、
より、
境界線は
を連立すると、
のときのとき
の交点は
を連立すると、
のときのとき
の交点は
(iv) のとき、(1)と②より、

境界線は
を連立すると、

の交点は
>>(i)(iv)より、領域Sは、
かつ
図示すると右図黄緑色着色部(境界線は、y軸上のみを除く。つまり、太線上を含み、点線上、白マルを含まない)

(3) 今度は問題文の不等式を満たすzが存在するの範囲を求めるのではなく、(2)
 ・・・①
を満たすの範囲を求めることになります。Vの体積を求めるので、z軸に垂直な平面で切ったときの断面を考えるために、以下ではzを固定して考えます。
(i) のとき、(1)(i)と①より、
なので、です。
(ii) のとき、(1)(ii)と①より、
なので、です。また、より、
境界線は、です。
両式を連立すると、

但し、のときです(以外ではは領域外の点です)
を連立すると、

のとき、
交点は、のときの範囲内の点,のとき範囲外の点です。
(iii)も含めて、後ろの注.で検討します。
また、のとき、曲線においては,直線においては,また、直線
x軸との交点の範囲内にあります。
(iii) のとき、(1)(iii)と①より、
 (です)
より、
境界線は、です。
を連立すると、
のとき、
また、のとき、直線においては,交点以外では領域外の点です。
注.との交点は、のとき領域内の点ですが、のとき領域の中に入りません(以下の図は、この場合を想定して描かれています)のときには(iii)で直線は境界線に出てきませんが、のときには(ii)は境界線に出てきません。いずれにせよ、(ii)(iii)合わせて、x軸,y軸,直線,直線,直線に囲まれた図形になります。
と直線の位置関係が変わってしまうので、実は、本問では、と指定されていることもあり、zを固定するよりもxを固定する方がラクです。
(iv) のとき、
 (なので、です)
境界線は、です。
を連立すると、
と連立すると、
(重解),直線と曲線において接します。
以上より、領域Vz軸に垂直な平面で切ったときの断面を、z軸に垂直にzx平面上に平行移動してできる領域は右図水色着色部。
この面積は、△
ABCの面積と長方形BCEDの面積の和から△BFGの面積を引き、さらに、曲線 ()y軸,直線FG,直線DEで囲まれる部分の面積を引いたものとして(定積分と面積を参照)
 (に注意)


Vが存在するのはで、Vの体積は、
 (定積分と体積を参照)

......[]


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