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鹿児島大数学'10年[6]

鹿児島大数学'10[6]

で表される曲線をCとし、PC上の点とする。次の各問いに答えよ。
(1) 曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
となることを証明せよ。
(2) 原点Oからlにおろした垂線をOHとする。Hの座標をとするとき、で表せ。
(3) Fとする。は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ。また、その値を求めよ。

解答 双曲線をテーマとする計算問題ですが、上手に計算しないと行き詰まります。

(1) C ・・・①
陰関数の微分法により、両辺をxで微分して、
 ・・・②
(i) のとき、
①でとすれば
における
Cの接線lは、 (複号同順) ・・・③
(ii) のとき、
②でとすれば、
 ・・・④
これが、PにおけるCの接線lの傾きです。接線lの方程式は、

PC上の点で①を満たすので、
 ・・・⑤
よって、接線lは、
ここで、とすると、③を含んでいます。
以上より、曲線C上の点Pにおける接線lの方程式は、
 ・・・⑥
となります。

(2) 曲線Cの接線で、y()と垂直になるものはないので、接線lと垂直な直線OHの傾きは、④より、 () (直線の平行と垂直を参照)
直線OHは、
⑥と連立すると、

Hは、 ......[]

(3)




ここで、(2)の結果を用いて、

 ( )
よって、は点Pの取り方によらず一定で、その値は1 ......[] です。


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  1. 2011/02/11(金) 11:53:07|
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