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広島大理系数学'10年[5]

広島大理系数学'10[5]

4で割ると余りが1である自然数全体の集合をAとする。すなわち、
とする。次の問いに答えよ。
(1) xおよびyAに属するならば、その積Aに属することを証明せよ。
(2) 0以上の偶数mに対して、Aに属することを証明せよ。
(3) mn0以上の整数とする。が偶数ならばAに属し、が奇数ならばAに属さないことを証明せよ。
(4) mn0以上の整数とする。の正の約数のうち、Aに属する数全体の和をmnを用いて表せ。

解答 誘導なしでいきなり(4)を聞かれると厳しい問題ですが、誘導に乗って進めて行けば、解答できます。なお、集合整数を参照してください。

(1) であれば、pq0以上の整数として、
と表すことができます。
0以上の整数なので、
となります。 (証明終)

(2) 0以上の偶数mは、k0以上の整数として、と表すことができます。
となりますが、より、です。従って、(1)より、です。
また、
(1)より、であれば、です。
よって、帰納的に
(数学的帰納法を参照)0以上の整数k,つまり、0以上の偶数mについて、
となります。 (証明終)

(3) 以下では、pq0以上の整数とします。
(i) のとき、は偶数です。
となりますが、(2)より、です。についても、より、で、(1)より、であれば、となり、帰納的にとなるので、(1)より、
となります。
(ii) のとき、は奇数です。
となりますが、(i)で見たように、なので、 (k0以上の整数)とおくと、
は、4で割ると3余るので、
となります。
(iii) のとき、は奇数です。
となりますが、(i)で見たように、なので、 (k0以上の整数)とおくと、
は、4で割ると3余るので、
となります。
(iv) のとき、は偶数です。
となりますが、,また、より、なので、(1)より、
となります。
以上より、が偶数ならばAに属し、が奇数ならばAに属しません。 (証明終)

(4) の正の約数は、pqを満たす整数として、の形に表せます。このうち、Aに属するものは、(3)より、が偶数となるもので、pが偶数ならqも偶数、pが奇数ならqも奇数となります。これらの和Sは、
 (等比数列を参照)

......[
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  1. 2011/02/10(木) 18:00:00|
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