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帯広畜産大数学'10年[2]

帯広畜産大数学'10[2]

関数tに関する最大値xの関数とする。
(1) のとき、xを用いて表し、曲線の概形を描け。
(2) 曲線で囲まれる図形の面積を求めよ。
(3) 直線上の点Qから、曲線に引いた2本の接線の接点のx座標をそれぞれabとする。点Qの座標をabを用いて表せ。
(4) 2本の接線と曲線で囲まれる図形の面積の最小値を求めよ。

解答 2次関数の最大最小がからみますが、数学Ⅱの範囲の微積の総合問題です。

(1)
より、のとき最大値をとります。
......[] を図示すると右図実線(白マルを除く)

(2) を連立して、
 ∴
求める面積は、においてより、
......[]

(3) 接点のx座標をpとします。
における接線 ・・・①
直線上の点
Qを通るので、
 ・・・②
判別式:
 ・・・③
よって、pに関する2次方程式②は、相異なる2解を持ちます。この2解がabです。解と係数の関係より、
 ∴ ()
Qの座標は、 ......[] (と書くこともできます)

(4) とします。①において、として、2本の接線は、
2本の接線と曲線で囲まれる図形を直線で分けて面積を考えることにより、この図形の面積は、



2次方程式②の2解の差 (2次方程式の一般論を参照)は、③のDを用いて、

のとき、最小値: ......[] をとります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/02/09(水) 14:17:23|
  2. 10年数学
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