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山形大医数学'10年[3]

山形大医数学'10[3]

(1) を満たすxの範囲を求めよ。
(2) のとき、の大小を調べよ。
(3) pである定数とする。のとき、の大小を調べよ。

解答 (3)は簡単に調べる方法はなさそうです。(1)から(2)への展開を応用することにします。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。

(1) とおきます。
 ・・・① (積の微分法を参照)
とおきます。
とすると、
x
0
0
0

増減表より(関数の増減を参照)
よって、①より、 
(等号はのみにおいて成立)
従って、は連続であってかつにおいて増加関数で、
のときより、
のとき、より、
また、
以上より、,つまり、を満たす
xの範囲は、 ......[]

(2) のとき、(1)より、
両辺をxで割って、
のとき、(1)より、
両辺を
xで割って、
よって、のとき、

(3) (1)(2)同様のアプローチをして、まず、分母を払って左辺から右辺を引いた形の関数の増減を調べ、そこから不等式を導くことにします。
ここで、中カッコ内を、
とおきます。
とおくと、
に注意して増減表を作ると、
x
1
0
0

増減表より、,よって、において、
 (等号はでのみ成立)
は連続であってかつにおいて減少関数で、です。
なので、のとき、に注意して、
のときで、で割って、
のときで、で割って、
よって、のとき、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/01/29(土) 16:06:45|
  2. 10年数学
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