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センター数学IIB '11年第4問

 センター数学IIB '11年第4問 

四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、であり、底面の四角形ABCDは長方形であり、とおき、とおく。
を用いて表すとである。辺
OD12に内分する点をLとすると
となる。
さらに辺
OBの中点をM3ALMの定める平面をαとし、平面αと辺OCとの交点をNとする。点Nは平面α上にあることから、は実数stを用いてと表されるので、
となる。一方、点Nは辺OC上にもある。これらから、となる。
また、である。よって、を計算すると、のとき、直線
AMと直線MNは垂直になることがわかる。

解答 この空間ベクトルの問題には、図形的な要素はあまりなく、ひたすら計算、ということになるでしょう。04の数値しか出てこないので、問題文を読み違える、ということでもなければ、ミスの可能性も低かったと思われます。

() a () b ......[]
より、
() 2 () 3 () 1 () 1 ......[]
より、
 ・・・①
 ・・・②
() 1 () 2 () 3 () 3 () 2 () 3 ......[]
1次独立で、点Nが辺OC上にあることから、②のの係数について、
これを解いて、
②より、

() 1 () 4 ......[]
①より、
 ・・・③
より、
 (内積を参照)

より、

より、

(
) 1 () 2 () 0 () - () 2 ......[]
直線AMと直線MNが垂直になるとき、です。①,③を用いて、



() 2 ......[]


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