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センター数学IA '11年第2問

 センター数学IA '11年第2問 

abcを定数とし、とする。x2次関数
  ・・・①
のグラフをGとする。Gのグラフと同じ軸をもつとき
  ・・・②
となる。さらに、Gが点を通るとき
  ・・・③
が成り立つ。
以下、②,③のとき、
2次関数①とそのグラフGを考える。

(1) Gx軸が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
である。さらに、Gx軸の正の部分が異なる2点で交わるようなbの値の範囲は
である。

(2) とする。
における2次関数①の最小値がであるとき、
である。一方、における
2次関数①の最大値が3であるとき、である。
のときの①のグラフをそれぞれとする。
x軸方向にy軸方向にだけ平行移動すれば、と一致する。

解答 計算がラクになるように配慮されていますが、センター試験としては、比較的高度な問題です。abcの値、相互関係に注意して解答を進めます。

①右辺を平方完成して、

 (2次関数を参照)
①のグラフGの軸は、です。
の軸はですが、と一致するので、
より、
() - () 1 () 4 ......[]
これで①は、
となりますが、を通るので、

(
) 3 () 4 ......[]
これも入れると、①は、
 ・・・④
となります。

(1) Gx軸が異なる2点で交わるので、④でとしてできる2次方程式、
は、相異なる2実数解をもち、判別式Dについて、
 ・・・⑤
() - () 3 () 2 () 1 () 2 ......[]
さらに、Gx軸の正の部分が異なる2点で交わるので、⑤に付け加えて、
④の軸について、 ・・・⑥ 
(2次方程式の解の配置を参照)
G
のグラフが上に凸であることから、区間端()においてであって、
 ・・・⑦
かつ かつ ⑦より、
() 1 () 2 () 3 () 4 ......[]

(2) Gの軸がにあって、上に凸なので、においては、2次関数①は単調増加です。④より、①はで最小値をとり、これがとなることから、

(
) 1 () 2 ......[]
という範囲はGの軸の位置を含むので、④を平方完成して、
 ・・・⑥
より、において最大値をとり(2次関数の最大・最小を参照)、これが3になることから、

より、
() 3 () 2 ......[]
④でとして、は、
⑥でとして、は、
からへの平行移動は、頂点の移動で考えます。の頂点はの頂点はにあり、x軸方向に2y軸方向に3だけ平行移動すれば、と一致します。
() 2 () 3 ......[]


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