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センター数学IA '11年第1問

 センター数学IA '11年第1問 

[1] とすると


である。このとき、不等式
を満たすxの値の範囲は
となる。

解答 分母の有理化の問題です。後半の計算に前半の計算結果を活かすようにしましょう。

() 3 () 2 () 2 ......[]
() 2 () 3 ......[]

() 8 () 2 () 6 () 3 ......[]
なので、



(
) 4 () 2 () 3 () 3 () 6 () 2 () 6 ......[]


[2]
 実数abに関する条件pqを次のように定める。
p
q または
(1) 次ののうち、命題「q p」に対する反例になっているのはである。
   
   
(2) 命題「p q」の対偶は「 」である。
に当てはまるものを、次ののうちから一つずつ選べ。
かつ    
または    
かつ    
または    
(3) pqであるための
に当てはまるものを、次ののうちから一つ選べ。
必要十分条件である
必要条件であるが、十分条件ではない
十分条件であるが、必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

解答 まともに体当たりしなくてもよいでしょう。(1)は、暗に、適当に値を代入して、真偽や、必要条件か、十分条件かを判断してはどうか、ということを示唆しています。
ですが、アインシュタインの理論が正しいか誤っているかをカンで判断してよい、と言うのであれば、「論理」の問題を出題する意味があるのでしょうか?


(1) 命題q p」に対する反例というのは、条件qを満たすが条件pは満たさない例、となるものです。
のとき、
条件pは、となり成立。条件qは、またはとなり成立。よって、反例にはなりません。
のとき、
条件pは、となり成立。条件qは、またはとなり成立。よって、反例にはなりません。
のとき、
条件pは、となり不成立。条件qは、またはとなり不成立。よって、反例になりません。
のとき、
条件pは、となり不成立。条件qは、またはとなり成立。よって、これが反例になります。
() ......[]
反例が挙げられるので、命題「q p」は偽です。 ・・・①
(2) 命題「p q」の対偶は、「 」です。
は、
は、
かつ
(
)  () ......[]
かつ
かつ
というわけで、対偶が成り立つので、元の命題「p q」は真です。 ・・・②
(3) ①,②より、pqであるための十分条件ですが、必要条件ではありません。
() ......[]
追記.落ち着いてやれば以上の通りで、出題者の意図もそこにあります。ですが、センター試験には厳しい時間制限があって最終解答しか要求されません。条件qの「または」という言葉と、abの絶対値が大きくても条件qが成立する場合があることから、カンでマークしておけば得点できるでしょう。例年の問題も証明してみる必要のない問題です。


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  1. 2011/01/17(月) 14:11:21|
  2. センター数学'11年
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