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早大教育数学'10年[3]

早大教育数学'10[3]

座標平面上で、を、それぞれ、中心が,半径が211である円周とする。点Pは点を出発点とし、円周上を反時計回りに等速で秒で一周する。点Qは点を出発点とし、まず円周上を反時計回りに等速でa秒で一周し、続いて円周上を時計回りに等速でa秒で一周する。
PQが同時に出発するとき、線分PQの長さの最大値と最小値を求めよ。ただし、aは正の定数である。

解答 三角関数を含む関数の最大最小の問題です。数学Ⅱの範囲内で解決します。

以下では、回転角は各円の中心から
x軸方向に進んだ点より出発して反時計回りに測ることにします。円の中心が,半径がr,回転角がθ であれば、動点の座標はとなります。
また、時刻秒で
PQは初期位置に戻ってくるので、時刻で考えれば十分です。

時刻において、点
P秒で角回るので、時刻t での回転角はです。円周上を回る点Pの座標は (三角関数を参照)
時刻において、点Qa秒で角π回るので、時刻t での回転角はです。円周上を回るので、点Qの座標は
時刻において、点
Qa秒で角π回り、時計回りに、円の中心からx軸負方向に進んだ点より出発するので、時刻tでの回転角はです。円周上を回る点Qの座標は
以上を見ると、回転角にがよく出てくるので、これを
θ とおくことにします。つまり、
 (のときのとき)
このとき、における点Pの座標は
における点
Qの座標は
における点
Qの座標は、
より、Q
(i) のとき、

 (加法定理を参照)
とおくと、より
 (2倍角の公式を参照)
において、は、のとき最小値のとき最大値36 ・・・①
(ii) のとき、

とおくと、より
(とおきます)
 (微分・導関数を参照)


x

1

0
36494

増減表より(3次関数の最大・最小を参照)は、のとき最小値4のとき最大値49 ・・・②
①,②より、は、のとき最小値 (より、,つまり、)のとき最大値49
よって、PQの長さの最大値7 (のとき),最小値 (のとき) ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/01/14(金) 12:45:36|
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