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千葉大数学'10年[11]

千葉大数学'10[11]

は実数全体で定義された関数とする。実数aに関する条件(P)を考える。
(P) 正の実数rを十分小さく選べば、をみたすすべての実数xに対してが成り立つ。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 実数aが条件(P)をみたし、かつ、で微分可能ならば、であることを証明せよ。
(2) 関数
で定義されているとき、条件(P)をみたすような実数a全体の集合を決定せよ。
(3) 一般に、実数全体で定義された関数に対し、次の命題は正しいか。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。
(命題) すべての実数aが条件(P)をみたすならば、は定数関数である。

解答 本格的な数学の香りが漂う問題ですが、見慣れない問題なので、どうやって答案を書くか悩むかも知れません。なお、証明の技巧を参照してください。

以下で、

です。

(1) において、です。
また、で微分可能なので、極限値が存在して、
 ・・・① (微分・導関数を参照)
です。
ここで、を、
2つの部分に分けて考えます。
(i) において、より、
 ・・・② (関数の極限を参照)
(ii) において、より、
 ・・・③
①,②,③より、
 (証明終)

(2) のときのとき
より、
のとき、
のとき、
これらより、
のグラフは右図のようになります。これより、以下のようにaの範囲を分けて考えます。
(i) のとき、においては減少関数なので、どんな小さな正数rに対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となり、条件(P)は成立しません。
(ii) のとき、においてなので、
(a) のとき、となるようにrをとれば、より、
を満たすすべての実数xに対して、で、条件(P)が成立します。
(b) のとき、となるようにrをとれば、より、を満たすすべての実数xに対して、で、条件(P)が成立します。
(iii) のとき、なので、を満たすrをとれば、より、を満たすすべての実数xに対して、 (右図を参照)で、条件(P)が成立します。
(iv) のとき、においては減少関数なので、どんな小さな正数r ()に対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
(v) のとき、においては増加関数なので、どんな小さな正数r ()に対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
(vi) のとき、においてなので、となるようにrをとれば、より、を満たすすべての実数xに対して、で、条件(P)が成立します。
(vii) のとき、においては減少関数なので、どんな小さな正数r ()に対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
(viii) のとき、においては増加関数なので、どんな小さな正数rに対しても、を満たすxのうち、例えばについて、となるので、条件(P)は成立しません。
以上より、条件(P)を満たすような実数a全体の集合は、
......[]

(3) 定数関数であれば条件(P)を満たすこと、また、連続かつ増加である範囲、連続かつ減少である範囲をもつ関数では条件(P)が満たされないことは明らかです。
(2)(iii)の場合でも条件(P)が成立することを考えると、関数に不連続点があって、その不連続点を含む適当な範囲内で、その不連続点において最大となっていて、不連続点以外では定数値をとる関数であれば、条件(P)が成立します。
従って、
xが整数値のときxが整数値でないときとなるような関数では、定数関数ではないのに、すべての実数aが条件(P)を満たします。
命題は正しくない。反例は、
xが整数値のときxが整数値でないときとなるような関数 ......[]
注.上記の反例で、整数よりも、ほんのちょっとだけ小さい実数a、あるいは、ほんのちょっとだけ大きい実数aのとき、条件(P)は成り立たないのではないか、と、感じる人がいるかも知れません。
ですが、整数をnとして、となるようなaを、どんなにnの近くとっても、rとなるようにとれば(とします)なので、を満たすすべての実数xに対してとなり条件(P)が成立します。
また、となるような
aを、どんなにnの近くにとっても、rとなるようにとれば(とします)なので、を満たすすべての実数xに対してとなり条件(P)が成立します。
ある実数
aのどんなに近くにaと異なる実数bをとっても,または、を満たす実数cがとれる、という実数の性質を、実数の稠密性と言います。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2011/01/12(水) 11:41:39|
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