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鹿児島大数学'10年[3]

鹿児島大数学'10[3]

座標平面において、点Cを中心とし、半径がの円をSとする。S上に点Nをとり、とする。このとき、次の各問いに答えよ。ただし、Oは原点を表すものとする。
(1) x軸上に点Pをとり、直線NPと円Sとの交点のうち、Nと異なるものをQとする。とおき、の形で表したとき、abxで表せ。
(2) x軸上に2をとる。直線と円Sとの交点のうち、Nと異なるものをとし、直線と円Sとの交点のうち、Nと異なるものをとする。このとき、が成り立っていれば
が成立することを証明せよ。ただし、は零ベクトルを表すものとする。

解答 内積計算を利用する平面ベクトルの計算問題です。(1)がなくて(2)だけになっている問題でも、1次結合の形に表すようにしましょう。

(1) より、 ・・・①
となっています。
と表すとき、NQPは一直線上の点なので、
 ・・・② (共線条件を参照)
より、
 ( )
 ( )


のとき②よりで、となってしまうので不適。
のとき②より
......[]
これより、x軸方向の単位ベクトルとして、より、
 ・・・③

(2) ③において、とすることにより、
③において、とすることにより、

より、
ここで、の係数について、

 ( )

 ( )
よって、
 (証明終)


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  1. 2011/01/04(火) 11:01:09|
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