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京都府立医大数学'10年[1]

京都府立医大数学'10[1]

Oを原点とする座標平面上の楕円Cを考える。
P (ただし、)を通る楕円C2つの接線をとし、それらと楕円との接点をそれぞれQRとする。点Qを通りと直交する直線をとし、点Rを通りと直交する直線をとする。直線の交点をSとする。ただし、Qx座標はRx座標より大きいとする。
(1) 2QRの座標をt を用いて表せ。
(2) Sの座標をt を用いて表せ。
(3) t 1より大きい実数全体を動くとき、点Sの軌跡を求めよ。
(4) であるとき、△OPSの面積をとする。を求めよ。

解答 まともに腕ずくで計算しようとすると収拾がつかなくなります。どうやって計算するか、ということが問われている問題です。なお、楕円を参照してください。

(1) Pを通る直線とおいてと連立していくと凄まじいことになります。傾きmを持ち出さずに、直接、接点の座標を求めるようにします。
接点QRの座標をとおきます。接点は楕円C上の点なので、
 ・・・①
における楕円Cの接線は、
 ・・・②
Pを通るので、
なので、

 ・・・③
を①に代入して、
整理して、
 ・・・④

③より、
Qx座標はRx座標より大きいので、
QR ......[]

(2) ここも(1)の結果をそのまま使って連立方程式を解くのでは大変です。QRの座標をよく見て、計算を工夫します。Qx座標はRy座標の倍、Rx座標はQy座標の倍になっていることに着眼します。対称性があるので、対称式の利用を考えます。
④の2解、つまり、QRy座標をab とおきます。よりです。
④において、
解と係数の関係より、
 ・・・⑤
ここで、のときにとなることに注意します。
(i) ,つまりのとき、QRです。Qにおける接線Rにおける接線Qにおける法線Rにおける法線
の交点Sの座標はです。
(ii) ,つまりのとき、
Qx座標は、③を用いて、
 ( )
同様に、Rx座標はです。
②より、
Qにおける接線は、
この傾きは,よって、Qにおける法線の傾きはQにおける法線は、
 ・・・⑥
同様にRにおける法線は、
 ・・・⑦
⑥,⑦を連立して、


より、
⑤を用いて、
⑥より、
(ii)の結果でとすると、となるので、(ii)の結果は(i)の結果を含んでいます。
よって、
Sの座標は、 ......[]

(3) Sx座標y座標の間には、という関係があります。
よりxtの減少関数(関数の増減を参照)で、のときのとき
これより、
S軌跡は、直線の部分 ......[]

(4) のとき、Pは直線の部分にあります。Sは直線の部分にあります。は直交するので、△OPSの面積は、 ()より、
のとき、 (関数の極限を参照)
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/30(木) 00:11:13|
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