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東北大理系数学'10年後期[1]

東北大理系数学'10年後期[1]

n2以上の自然数とする。を満たす実数とする。を任意に並べ替えたものとするとき、
が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

解答 数学的帰納法に持ち込む部分に一工夫必要な問題です。なお、'87年東大理系[5]で、としてを証明する問題が出題されています。

() のとき、


 ( )
(i) のときには、
(ii) のときには、
 ( )
(i)(ii)より、
与不等式は成り立ち、等号成立は、(i)より、 ()のときです。
() のとき、与不等式が成り立つと仮定します。つまり、
となる任意の数列について、
 ・・・①
が成り立ち、また、等号成立は、 ()のとき、と仮定します。
(i) のとき、
①の両辺に、を加えることにより、
 ・・・②
が成り立ち、等号成立は、 ()のときです。
(ii) ①のm項からなる数列においてであったものを、新たに (jkは、を満たす整数)として得られる、項から成る数列を考えます。これで、となる任意の数列を構成することができます。
として、①の両辺に、

を加えると、右辺は、の第k項目を元のから、新たな数列の項を使ってできるに入れ替え、さらにを付加することになるので、となる項を除いた和だとして、


 ・・・③ (①の数列と③の数列は第k項目が異なることに注意してください)
以上より、

 ・・・④
ここで、仮定により、
 (は①ののことです)
④の残りの部分は、

 ( )


 ( )
よって、④より、
(i)(ii)より、
が成り立ち、等号成立は、 ()のときです。
よって、のときにも与不等式は成立します。
()()より、2以上の自然数に対して、
が成り立ちます。また、等号は、 () ......[] のときに成立します。

別解.より、
 ・・・⑤
です。
を任意に並べ替えたものとするとき、
2個ずつ選んで大きい順になるように並べ替えていくと、有限回(高々)の並べ替えでになります。
そこで、のうちの
2 (jkは、を満たす整数)を選んで、であれば、であれば、,他の (iは、を満たす整数)については、となるようにして、新たなを作ると、

 ( )
となることから、⑤が言えます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/24(金) 11:24:40|
  2. 10年数学
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