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岐阜薬大数学'10年[2]

岐阜薬大数学'10[2]

一辺の長さが1の正二十面体Wのすべての頂点が球Sの表面上にあるとき、次の問いに答えよ。なお、正二十面体は、すべての面が合同な正三角形であり、各頂点は5つの正三角形に共有されている。
(1) 正二十面体の頂点の総数を求めよ。
(2) 正二十面体W1つの頂点をA,頂点Aからの距離が1である5つの頂点をBCDEFとする。を用いて、正五角形BCDEFの外接円の半径Rと対角線BEの長さを求めよ。
(3) 2つの頂点DEからの距離が1である2つの頂点のうち、頂点Aでない方をGとする。球Sの直径BGの長さを求めよ。
(4) Sの中心をOとする。△DEGを底面とする三角錐ODEGの体積を求めよ。

解答 空間図形の問題です。(3)で、球Sの直径がBGの長さとして求められることを指示してくれているので、何とかなるでしょう。ですが、正二十面体の図を描くことができないと厳しいかも知れません。
正二十面体を正面から見た図は、まず、六角形
BFEGHIを描いてください。次に、頂点Bの回りに正三角形が5個並ぶので、Bと対向する辺ACCIIJJFFAをつないでできる五角形ACIJFを描きます。同様にして、頂点Gを取り囲むように五角形DHKLEを描きます。最後に隣接する頂点を結んで正三角形の面を20個描きます。本問を解く場合には、右図のような図が描ければOKです。

(1) 20個の正三角形の各々が頂点を3個もつので、正三角形を切り離せば全部で個の頂点があるはずなのですが、5個の正三角形が1個の頂点を共有するので、正二十面体の頂点は、 ......[] あります。

(2) 正五角形BCDEFの内角はです。三角形BEFは、となる二等辺三角形なので、
三角形BEFにおいて正弦定理より、
とすると、
より、
......[]
......[]

(3) 正二十面体の外接球Sの中心Oは、直径BGの中点です。三角形BEGを含む平面で球Sを切ると、切り口はBGを直径、Oを中心とする円で、三角形BEGの外接円です。三角形BEGは、円の直径を斜辺とする三角形なので、である直角三角形です。,及び、三平方の定理より、
......[]

(4) DEの中点をMとします。
注.見づらいので、図ではGAとして描いてあります。
Oから三角形DEGに垂線ONを下ろすと、Nは三角形DEGの重心になります。
と、三平方の定理より、
正三角形DEGの面積は、
三角錐
ODEGの体積Vは、
......[]
これより、11の正二十面体の体積は、とわかります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/23(木) 11:36:29|
  2. 10年数学
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