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群馬大医数学'10年[2]

群馬大医数学'10[2]

(1) nを自然数とし、とする。
() を満たす自然数mに対し、を証明せよ。
() を満たすnを求めよ。
(2) 実数xyが連立方程式を満たすとき、の最小値を求めよ。

解答 (2)は、xyのまま考えると失敗します。なお、対数関数線形計画法を参照してください。

(1)() の両辺の対数(底:10)をとると、


( )
() の両辺の対数(底:10)をとると、

より、
 ・・・①

より、
これを満たす整数
nは、 ......[]

(2)  ・・・②
 ・・・③
が表す領域を図示し、とおいて、と、杓子定規(しゃくしじょうぎ)にやろうとすると、のグラフがうまく書けずに失敗します。そこで、
() ・・・④
とおきます。底が2の対数を考えて、
 ・・・⑤
⑤を②に代入すると、

 ・・・⑥
⑤を③に代入すると、

 ・・・⑦
⑥,⑦の境界線を連立すると、
⑥,⑦を図示すると右図黄緑色着色部
(境界線を含む)
は、pq平面上で傾きの直線を表します。q切片kが最小になるのは、直線が点を通るときで、kの最小値は
よって、の最小値は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/22(水) 08:23:16|
  2. 10年数学
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