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大分大医数学'10年[3]

大分大医数学'10[3]

微分可能な関数が次の方程式を満たすとする。
 ・・・(A)
ここにnは自然数、 ()は実数の定数で、である。また、k次導関数でとする。(A)のような方程式を第n階微分方程式といい、(A)に対してtn次方程式
 ・・・(B)
(A)の特性方程式という。このとき次の問いに答えよ。
(1) 特性方程式(B)の解が実数rであるとき、関数が方程式(A)を満たすことを証明せよ。
(2) n次方程式(B)が実数rk重解にもつとき、次のtに関する方程式はr重解にもつことを証明せよ。ただし、とする。
() tm次方程式が適当な多項式を用いてとなるとき、をこの方程式のk重解と定義する。ただし、とする。
(3) 実数の定数rに対してxの関数を ()とする。このとき、xおよびを用いて表せ。ただし、とする。
(4) 実数rn次方程式(B)k重解であるとき、 ()が微分方程式(A)を満たすことを証明せよ。ただし、kは自然数とする。

解答 線形微分方程式をネタとする野心的な問題です。

(1) 特性方程式(B)の解が実数rであるとき、
 ・・・①
,・・・ より(積の微分法を参照) として、 (高次の導関数を参照)
(A)に代入すると、



 ( )

(2) n次方程式(B)が実数rk重解にもつとき、適当な多項式を用いて、
 ・・・②
よって、
この両辺をtで微分すると、
このとき、
より、方程式
は、r重解にもちます。

(3) より、,つまり、
この両辺をxで微分すると、
 ・・・③
さらにxで微分すると、
さらにxで微分すると、
これより、
と予測できます。これを、nに関する数学的帰納法により証明します。
() のとき、③より、予測は成り立ちます。
() のとき、予測が成り立つと仮定して、
両辺をxで微分すると、
よって、のときにも予測は成り立ちます。
()()より、nが自然数のとき、予測は成り立ちます。
......[]

(4) kに関する数学的帰納法により証明します。
()のとき、(1)より、実数rn次方程式(B)の解であるとき、 ()iは、に限られ、は微分方程式(A)を満たすので、題意は成り立ちます。
()のとき、題意が成り立つと仮定します。即ち、実数rn次方程式(B)m重解であるとき、 ()は微分方程式(A)を満たすと仮定します。
ここで、の場合を考えます。つまり、実数rn次方程式(B)重解だとします。
このとき、実数
rn次方程式(B)m重解になっているので、()の仮定より、 ()は微分方程式(A)を満たします。従って、の場合のが微分方程式(A)を満たすことが示せれば、「 ()が微分方程式(A)を満たす」ことが言えて、の場合にも題意が成り立つことを示すことができます。
(3)の結果でとして、

・・・・・・

さらに、
これらより、
は微分方程式(A)を満たすので、2番目の中カッコ内は、
です。
1番目の中カッコ内を考えます。実数rn次方程式(B)重解であるとき、(2)より、方程式
rm重解にもちます。すると、()の仮定において、,・・・,と見ることにより、は、微分方程式
を満たします。つまり、1番目の中カッコ内も
となります。
従って、
()が微分方程式(A)を満たし、の場合にも題意が成り立ちます。
()()より、kを自然数として、実数rn次方程式(B)k重解であるとき、 ()は微分方程式(A)を満たします。

追記.(A)のような微分方程式を線形微分方程式と言います。抵抗力がある場合の振動現象や、電磁気学におけるRLC回路の挙動を調べる場合などに出てきます。
以下、最高次の係数は1だとして線形微分方程式について考えます。
(1) 線形1階微分方程式: (r:定数)
両辺を積分して、
 (不定積分の公式を参照)
(C:積分定数)
とおいて、
 (A:定数)
同様にして、を与えられた関数だとして、の解は、
(とおきます。C:積分定数)
とおいて、
 ・・・④
以上の場合を斉次線形1解微分方程式と言います。次の方程式を非斉次線形1解微分方程式と言います。
 ・・・⑤
この場合の解は、④のAを関数に置き換え、を微分方程式⑤に代入し、
⑤より、

からを求め、積分計算を行うことによりが求められます。
(2) 線形2階微分方程式: (pq:定数)
()として、特性方程式:
このとき、とおくと、

となるので、(1)の場合の結果を用いて、 (C:定数)
これより、
この解は(1)の非斉次の場合の結果を用いて、
 ・・・⑥
 (D:定数)
と置き直して、
の場合(特性方程式が重解aをもつ場合)は、⑥が、
となります。
(3) 線形n階微分方程式
本問のような線形微分方程式は、が解であれば、も解になります。本問より、n次の特性方程式が異なるn個の解,・・・,をもてば、微分方程式(A)の一般解は、
 (,・・・,は定数)
n次の特性方程式が異なる個の解,・・・,k重解Rをもてば、微分方程式(A)の一般解は、
となります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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