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千葉大数学'10年[1]

千葉大数学'10[1]

直角三角形ABCは、が直角で、各辺の長さは整数であるとする。辺BCの長さが3以上の素数pであるとき、以下の問いに答えよ。
(1) ABCAの長さをpを用いて表せ。
(2) は、いずれも整数にならないことを示せ。

解答 ピタゴラス数をテーマとした整数問題です。

(1) CAの長さをq,辺ABの長さをrとすると、三平方の定理より、

pが素数で、qrは整数なので、
(i) かつ
(ii) かつ
(iii) かつ
3通りに限られます。
(ii)は、となるので不適です。
(iii)は、となるので不適です。
(i)より、辺ABの長さは,辺CAの長さは ......[]

(2) とも、背理法で示します。
(なのでmは自然数)とおくことができたとします。
 ・・・①
左辺のは、p3以上の素数なので、2の倍数ですが4の倍数ではありません。
右辺のは、
p3以上の素数で奇数なので、はともに偶数です。従って、4の倍数です。①では、4の倍数でない数と4の倍数が等しいことになり不合理です。
ということは、は整数ではありません。
(なのでnは自然数)とおくことができたとします。
 ・・・②
左辺のは素数pの倍数ですが、右辺のは、はともに素数pの倍数にはなり得ないので、は素数pの倍数ではありません。②では、pの倍数とpの倍数でない数が等しいことになり不合理です。
ということは、は整数ではありません。

追記.直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをab,斜辺の長さをcとして、
 ・・・③
が成立します。③をみたす整数abcの組として、や、などが知られています。
ここで、整数
abcの組が一般的にどのように表せるかを調べてみます。
まず、
cが偶数だとすると、4の倍数です。
cが奇数だとして、 ()とおくと、より、4で割ると1余る整数です。
③において、
abがともに奇数だとすると、ともに4で割ると1余る整数で、4で割ると2余る数ということになりますが、4で割ると割り切れるか、1余る数です。つまり、③をみたすabがともに奇数、ということはあり得ません。
abがともに偶数のときには、cも偶数になりますが、この場合には、abのどちらかが奇数になるまで2で割った形を考えれば、abのどちらか一方が偶数で他方が奇数として考えればよくなります。同様に、ab1以外の公約数をもつ場合も、公約数で割って考えれば、abが互いに素な場合を考えればよくなります。
abの偶奇が異なるので、の偶奇も異なり、は奇数で、cも奇数です。aが奇数でbが偶数だとすると、はともに偶数なので、 (mnより、ともに自然数で)とおくと、
このとき、
mnの最大公約数をdとして、abdの倍数となるので、abが互いに素であれば,よって、mnも互いに素です。が平方数となるためには、mnも平方数でなければならず、
(pqは互いに素な自然数で)
とおくことができます。こうして、
という表示が得られました。
ただし、
pqがともに奇数であるときには、abとも偶数になります。また、pqが互いに素でなくても、
なので、③がみたされます。以下、pqが互いに素な場合の例を示します。
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
こうして、ピタゴラス数が得られます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/14(火) 10:35:13|
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