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兵庫県立大数学'10年[3]

兵庫県立大数学'10[3]

数直線上の原点に点Aがある。点Aは次の規則に従って数直線上を正の向きに動いていく。
Aが座標kの位置にあるとき数直線上の正の向きに1進む確率が,正の向きに2進む確率がである。」
Aが座標nの位置に立ち寄る確率をとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) で表せ。
(3) を求めよ。

解答 確率と数列の融合問題ですが、見慣れない漸化式が出てきます。予測して数学的帰納法で証明しておきましょう。

(1) Aが原点にいるとき1進む確率は、問題文中の規則でとして1となるので、原点にいるときには次は必ず座標1に来ます。つまり、
Aが座標1にいるとき、1進んで座標2に行く確率は2進む確率は2進むと座標3に行き座標2には立ち寄らないので、
Aは確率で座標2に来て、さらに1進む確率はで、このとき座標3に来ます。
座標
3に立ち寄る確率は、 ......[]

(2) Aが座標nに立ち寄るとき(確率)、ここからさらに1進んで座標に行く確率は
Aが座標nに立ち寄らないとき(確率)には、必ず座標に立ち寄ります。
よって、座標に立ち寄る確率は、
......[]

(3) (2)の漸化式を用いて、
これよりmを自然数として、
のとき、
のとき、
と予測できます。
のとき、より予測は成り立ちます。
ある自然数
mで予測が成り立つとして、(2)の漸化式を用いて、

よって帰納的に、予測は成り立ちます。
のときより、
これより、
nが奇数のときnが偶数のとき ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/08(水) 09:39:05|
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