FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

奈良県立医大数学'10年[4]

奈良県立医大数学'10[4]

nを正整数とする。
(1) となる定数,・・・,を求めよ。
(2) さらにとする。1より小さい正の実数a0に近づくとき、極限は、正負いずれの無限大にも発散せず、有限の値をとることを証明せよ。(但し、極限値を具体的に求める必要はない。また、であることは証明なしに用いてよい)
(3) 極限値を求めよ。

解答 部分分数分解をテーマとした問題です。(2)は、具体的な値を求める必要はない、というヒントから、はさみうちを応用して考えます。

(1) 一気に片付けるのは大変なので、一つずつやっていきます。
のとき、より、
のとき、
とおくと、

 ・・・①
これより、

になりそうなので、n1つ変化したときの違いを調べてみます。
これで、以下のように数学的帰納法を利用した答案にまとめることができるでしょう。

となる定数,・・・,が、
であることを数学的帰納法により示す。
() のとき、より、
よって、成り立つ。
() のとき、となる定数,・・・,が、
だと仮定する。
両辺にを加えて、
左辺は、
となり、
よって、のときも成り立つ。
()()より、
となる定数,・・・,は、 ......[]

(2) (1)より、
両辺にをかけて、
の範囲で積分すると、
 ・・・②
 ・・・③
においては、
なので、

 ・・・④

よって、④より、

これと②,③より、
 ・・・⑤
ここで、とすると、より、

従って、

⑤において、のとき、左辺も右辺もある有限確定値に収束するので、中辺のも有限確定値に収束します(左辺と右辺が異なる値に収束するので、の値はわかりません)

(3) (2)の場合かと一瞬思いますが、被積分関数にxがかかっているので、(2)が利用できるわけではありません。従って、をどうやって積分するかを考えなければいけません。被積分関数は、xの分数式と対数関数の積になっていますが、xの分数式の部分がの形にならないか、と、考えてみます。つまり、

を部分分数に分けるために、
とおくと、

これより、
 (分数関数の積分を参照)

 (D:積分定数)
これで、部分積分法により、の計算が行えます。

2項の定積分は、再び、部分分数に分けるために、①において、
とすると、

以上より、

ここで、とすると、より、
......[]


TOPに戻る   CFV21 アーカイブ   考察のぺージ

©2005-2011
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾CFV21(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/03(金) 10:59:50|
  2. 10年数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<阪大物理'10年後期[3] | ホーム | 東工大数学'10年後期[1]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/1173-a281b143
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)