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東工大数学'10年後期[1]

東工大数学'10年後期[1]

abtは実数で、とする。次の漸化式により、数列 ()を定める。


(1) abtnを用いて表せ。
(2) とするとき、が収束するためのabtについての必要十分条件を求めよ。

解答 (1)連立漸化式は、2つの漸化式で係数が入れ替わっているだけ、という最頻出タイプのものです。このタイプでは、が等比数列になります。
(2)の極限は一ひねり入っているので注意してください。なお、数列の極限を参照してください。

(1) とおくと、
 ・・・①
 ・・・②
①+②より、
数列は、初項,公比等比数列です。
より、
 ・・・③
①-②より、
数列は、初項,公比の等比数列です。
より、
 ・・・④
③+④より、
......[]

(2) のとき、であればであれば
これ以外のtに対しては、は発散します(等比数列の極限を参照)
であればであれば
これ以外の場合は、は発散します。
なので、となる
tは全実数です。

これを見ると、の双方が、「ともに収束する」ことはない、と、わかります。ということは、
(i) の項が収束するときにはが収束しないので、が収束するためには係数はゼロであり、
(ii) が収束するときにはが収束しないので、が収束するためには係数はゼロ
ということです。
ですが、よりなので、
(i)の場合は、あり得ません。
(ii)より、 かつ のときに、は収束します。
が収束せず、も収束しないときであっても、となるとき、
より、ですが、

となり、このときにも、であれば、となり収束します。
これ以外に、が収束する場合はありません。
以上より、が収束するための
abtについての必要十分条件は、
かつ または かつ ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/12/01(水) 10:24:42|
  2. 東工大数学'10年
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