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東北大文系数学'10年後期[2]

東北大文系数学'10年後期[2]

OABにおいて、辺OA11に内分する点をM,辺OB21に内分する点をNとし、線分ANと線分BMの交点をPとする。以下の問いに答えよ。
(1) ベクトルを用いて表せ。
(2) とする。辺OAを含む直線をl,辺OBを含む直線をmとする。△ABPの外接円がlmに接するとき、内積を求めよ。

解答 (1)2通りの解法を書いておきます。教科書通りの解法と、別解のおすすめ解法です。(2)はかなり面倒で、無闇に計算すると何をやっているのかわからなくなります。

(1) MPBが一直線上の点であることから、MPPB = t として、
 (共線条件を参照)
より、
 ・・・①
NPAが一直線上の点であることから、NPPA = s として、
より、
 ・・・②
1次独立であることから、①,②の係数を比較して、
連立して解くと、
①より、
......[]
別解.メネラウスの定理より、

MPPB = 11
よって、

(2) ABPの外接円の中心をQとします。
外接円がlmに接するので、,これより、
 (内積を参照)
 ・・・③

また、△OAQ≡△OBQより、 ・・・④
一方、点
Qは、辺PAの垂直二等分線と辺PBの垂直二等分線の交点です。PAPBの中点をCDとすると、
 ・・・⑤
より、
 ( )



 ( )
 ( )
 ・・・⑥
ところで、(1)の結果より、
 ( ③,④)
 ・・・⑦
 ( ③,④) ・・・⑧
⑦,⑧を⑥に代入して、

......[]
注.(2)の計算のポイントは、③,④をうまく利用できるかというところにあります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/30(火) 11:31:54|
  2. 10年数学
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