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首都大文系数学'10年[3]

首都大文系数学'10[3]

実数abcdに対しx3次の整式を考える。ただし、とする。方程式3つの解をabgとするとであることが知られている。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) ,和を、それぞれabcdを用いて表せ。
(2) もしaが実数でないならば、方程式aの共役な複素数を解に持つことを証明せよ。
(3) abgのうち実数となるものの個数は0123のどれか。考えられる可能性をすべて、理由を述べて答えよ。
(4) もし、ならば、解abgのうち正の実数となるものの個数は0123のどれか。考えられる可能性をすべて、理由も述べて答えよ。

解答 3次方程式がテーマの問題です。なお、高次方程式を参照してください。

(1)

係数を比較して(恒等式を参照)
 ・・・①
より、
......[]

(2) aが実数でないので、です。
よって、

よって、方程式を解に持ちます。

(3) abgが実数であれば、①より、も実数なので、実数解の個数が3となる場合があります。
(2)より、実数でない解a1個もつと、その共役複素数 ()も解になるので、実数でない解が1個、つまり、実数解の個数が2個ということはあり得ません。
①で、だとすると、は実数なので、①より
であって、gは実数です。従って、実数解の個数が1となる場合があります。
また、実数でない解
a1個もつとき、これ以外に、実数でない解g ()をもつと、その共役複素数も解でなければならず、も解なので、より、3次方程式の解が4個ということになってしまいます。よって、実数解の個数が0ということはあり得ません。
以上より、実数解の個数は
1,または3 ......[] です。

(4) なのでadは同符号で、(1)の結果よりです。
abgの中に実数でないものがあるとき、aが実数でないとして、(2)よりも解ですが、だとすると、 (絶対値を参照)よりで正の実数解はありません。
abg3個とも実数であれば、より、abg3個とも負、または、1個が負で2個が正のいずれかです。
従って、正の実数となるものの個数は、
0または2 ......[] です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2010/11/24(水) 10:19:00|
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